Question

5．已知橢圓C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線l：y=kx+$\sqrt{3}$過C的一個焦點F，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓上的兩點，$\overrightarrow{m}$=（$\frac{{x}_{1}}$，$\frac{{y}_{1}}{a}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{{x}_{2}}$，$\frac{{y}_{2}}{a}$）且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，求出這個值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線l：y=kx+$\sqrt{3}$過C的一個焦點F，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）當(dāng)直線AB斜率不存在時，求出三角形的面積為定值1；當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)AB的方程為y=kx+b，與橢圓聯(lián)立，得（k²+4）x²+2kbx+b²-4=0，由此利用根的判別式，韋達(dá)定理、弦長公式，結(jié)合橢圓性質(zhì)能求出三角形的面積為定值1．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線l：y=kx+$\sqrt{3}$過C的一個焦點F，O為坐標(biāo)原點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{c=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）①當(dāng)直線AB斜率不存在時，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
由$\overrightarrow{m}$=（$\frac{{x}_{1}}$，$\frac{{y}_{1}}{a}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{{x}_{2}}$，$\frac{{y}_{2}}{a}$）且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，
得則y₁²=4x₁²，又A（x₁，y₁）在橢圓上，∴x₁²+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=1，
∴|x₁|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，|y₁|=$\sqrt{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|x₁|•2|y₁|=1，
∴三角形的面積為定值1；
②當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)AB的方程為y=kx+b，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}}\end{array}\right.=1$，可得（k²+4）x²+2kbx+b²-4=0，
得到x₁+x₂=-$\frac{2kb}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{^{2}-4}{{k}^{2}+4}$，
∵4x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（k²+4x₁x₂+kb（x₁+x₂+b²=0，
∴（k²+4×$\frac{^{2}-4}{{k}^{2}+4}$）+kb（-$\frac{2kb}{{k}^{2}+4}$）+b²=0，
∴2b²-k²=4，
∴S=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$|AB|=$\frac{1}{2}$|b|$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{|b|\sqrt{4{k}^{2}-4^{2}+16}}{{k}^{2}+4}$=1，
∴三角形的面積為定值1．
綜上，三角形的面積為定值1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角面積是否為定值的判斷與求解，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意