Question

10．設(shè)實數(shù)a，b滿足：1≤b≤a≤$\sqrt{3}$，則$\frac{{a}^{2}+^{2}-1}{ab}$的最大值為$\frac{4\sqrt{3}-1}{3}$．

Answer 1

分析 由1≤b≤$\sqrt{3}$，1≤a≤$\sqrt{3}$，b≤a，可得$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤$\frac{1}{a}$≤1，$\frac{a}$≤1，即有$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤t=$\frac{a}$≤1，由對號函數(shù)的單調(diào)性，可得最大值．

解答 解：由1≤b≤$\sqrt{3}$，1≤a≤$\sqrt{3}$，
可得1≤ab≤3，
由1≤b≤$\sqrt{3}$，1≤a≤$\sqrt{3}$，b≤a，
可得$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤$\frac{1}{a}$≤1，$\frac{a}$≤1，
即有$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤t=$\frac{a}$≤1，
則$\frac{{a}^{2}+^{2}-1}{ab}$≤$\frac{{a}^{2}+^{2}-\frac{1}{3}ab}{ab}$=$\frac{a}$+$\frac{a}$-$\frac{1}{3}$，
由于$\frac{a}$+$\frac{a}$=t+$\frac{1}{t}$在[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]遞減，可得
t+$\frac{1}{t}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
即有$\frac{a}$+$\frac{a}$-$\frac{1}{3}$≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{3}$，
即有最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}-1}{3}$．

點評 本題考查最值的求法，注意運用不等式的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．