Question

15．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=$\sqrt{6}$．O為AC與BD的交點(diǎn)，E為棱PB上一點(diǎn)
（1）證明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若三棱錐P-EAD的體積為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求證：PD∥平面EAC．

Answer 1

分析 （1）由已知得AC⊥BD，AC⊥PD，由此能證明平面AEC⊥平面PDB．
（2）取AD中點(diǎn)H，連結(jié)BH，PH，在△PBH中，經(jīng)點(diǎn)E作EF∥BH，交PH于點(diǎn)F，由已知可得BH⊥平面PAD，EF⊥平面PAD，BH=$\sqrt{3}$，由V_P-EAD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}$×2×EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，V_B-PAD=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×AD×PD×BH$=$\sqrt{2}$．利用體積之比可得$\frac{EF}{BH}$=$\frac{1}{2}$，可得E為PB中點(diǎn)，又O為BD中點(diǎn)，可得OE∥PD，即可得證．

解答 （本題滿分為10分）
證明：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，
∴AC⊥平面PBD，
又∵AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（2）取AD中點(diǎn)H，連結(jié)BH，PH，在△PBH中，經(jīng)點(diǎn)E作EF∥BH，交PH于點(diǎn)F，
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，
∴BH⊥平面PAD，EF⊥平面PAD，
可得：BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴V_P-EAD=V_E-PAD=$\frac{1}{3}×$S_PAD×EF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PD×AD×EF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{6}$×2×EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
V_B-PAD=$\frac{1}{3}$×S_△PAD×BH=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×AD×PD×BH$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{6}×\sqrt{3}$=$\sqrt{2}$．
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{EF}{BH}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，可得E為PB中點(diǎn)，
又∵O為BD中點(diǎn)，
∴OE∥PD，
∵PD?平面EAC，OE?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查了空間想象能力和推理論證能力，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．