Question

19．某產(chǎn)品整箱出售，每一箱中20件產(chǎn)品，若各箱中次品數(shù)為0件，1件，2件的概率分別為80%，10%，10%，現(xiàn)在從中任取-箱，顧客隨意抽查4件，如果無次品，則買下該箱產(chǎn)品，如果有次品，則退貨．
（1）求顧客買下該箱產(chǎn)品的概率；
（2）求在顧客買下的一箱產(chǎn)品中，確實(shí)無次品的概率．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A表示“顧客買下該箱產(chǎn)品”，B_i（i=0，1，2）分別表示“中次品數(shù)為0件，1件，2件”，由全概率公式得：P（A）=$\sum _{i=0}^{2}$P（A|B_i）P（B_i），代入計(jì)算可得答案．
（2）由貝葉斯公式得：P（B₀|A）=P（A|B₀）•P（B₀）÷P（A），代入可得答案．

解答 解：（1）設(shè)A表示“顧客買下該箱產(chǎn)品”，B_i（i=0，1，2）分別表示“中次品數(shù)為0件，1件，2件”，
則由已知可得：P（B₀）=80%=$\frac{4}{5}$，P（B₁）=10%=$\frac{1}{10}$，P（B₂）=10%=$\frac{1}{10}$，
則P（A|B₀）=1，P（A|B₁）=$\frac{{C}_{19}^{4}}{{C}_{20}^{4}}$=$\frac{4}{5}$，P（A|B₂）=$\frac{{C}_{18}^{4}}{{C}_{20}^{4}}$=$\frac{12}{19}$．
由全概率公式得：P（A）=$\sum _{i=0}^{2}$P（A|B_i）P（B_i）=$\frac{4}{5}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{10}$+$\frac{12}{19}$×$\frac{1}{10}$=$\frac{448}{475}$
（2）由貝葉斯公式得：P（B₀|A）=P（A|B₀）•P（B₀）÷P（A）=$\frac{4}{5}$÷$\frac{448}{475}$=$\frac{95}{112}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全概率公式和貝葉斯公式，是高等數(shù)學(xué)概率的拓展，難度較大．