Question

9．橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的取值范圍是[-2，1]．

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)，通過橢圓的范圍，求解即可．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$兩個(gè)焦點(diǎn)分別是${F_1}（-\sqrt{3}，0），{F_2}（\sqrt{3}，0）$，
設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{P{F_1}}=（-\sqrt{3}-x，-y）$，$\overrightarrow{P{F_2}}=（\sqrt{3}-x，-y）$，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=（-\sqrt{3}-x）（\sqrt{3}-x）+{y^2}={x^2}+{y^2}-3$，
因?yàn)?{y^2}=1-\frac{x^2}{4}$，
代入可得$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=\frac{3}{4}{x^2}-2$，而-2≤x≤2，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的取值范圍是[-2，1]
故答案為：[-2，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．