Question

8．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點(diǎn)P（3，4），斜率為1．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ，即ρ²=6ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)P（3，4），斜率為1．參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．代入圓C的直角坐標(biāo)方程，利用|AB|=t₁t₂即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ，即ρ²=6ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²=6x．
（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)P（3，4），斜率為1．參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
代入圓C的直角坐標(biāo)方程：可得t²+4$\sqrt{2}$t+7=0，
∴t₁t₂=7．
∴|PA|•|PB|=t₁t₂=7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．