Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$cos（x+$\frac{π}{4}}$），x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的值域；
（2）若θ∈（0，$\frac{π}{2}}$），且f（θ）=$\frac{1}{2}$，求sin2θ的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．
（2）利用二倍角公式求得cos（θ+$\frac{π}{4}$）的值，再利用誘導(dǎo)公式求得sin2θ的值．

解答 解：（1）∵$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$，∴$x+\frac{π}{4}∈[{-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$，
由 $y=cos（x+\frac{π}{4}）$的圖象可知，$cos（x+\frac{π}{4}）∈[{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}]$，
∴$f（x）=\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）∈[{-1，\sqrt{2}}]$．           
（2）∵$θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，$f（θ）=\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$，
∴$cos（θ+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴$cos（2θ+\frac{π}{2}）=2{cos^2}（θ+\frac{π}{4}）-1=-\frac{3}{4}$，
∴$sin2θ=-cos（2θ+\frac{π}{2}）=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦函數(shù)的定義域和值域，二倍角共式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．