Question

3．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長度單位，以原點為極點，以x鈾正半軸為極軸，已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），射線$θ=φ，θ=φ+\frac{π}{4}，θ=φ-\frac{π}{4}$與曲線C₁交于（不包括極點O）三點A、B、C．
（Ⅰ）求曲線C₁化成直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程，并求曲線C₁上的點到直線l的最小值．
（Ⅱ） 求證：$|{OB}|+|{OC}|=\sqrt{2}|{OA}|$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把曲線C₁化成直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程，求出圓心到直線的距離d，d-r即為曲線C₁上的點到直線l的最小值；
（Ⅱ）設(shè)點A，B，C的極坐標(biāo)分別為（ρ₁，φ），（ρ₂，φ+$\frac{π}{4}$），（ρ₃，φ-$\frac{π}{4}$），把三點代入曲線C₁解析式，表示出ρ₁=4cosφ，ρ₂=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），ρ₃=4cos（φ-$\frac{π}{4}$），代入計算即可得證．

解答 （Ⅰ）解：把x=cosθ，y=sinθ，ρ=x²+y²代入得：C₁：x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4，
直線l方程化簡得：$\frac{2}{\sqrt{3}}$y=2（x+2），即y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∵圓心（2，0）到直線l的距離d=$\frac{|4\sqrt{3}|}{2}$=2$\sqrt{3}$，
則曲線C₁上的點到直線l的最小值d-r=2$\sqrt{3}$-2；
（Ⅱ）證明：設(shè)點A，B，C的極坐標(biāo)分別為（ρ₁，φ），（ρ₂，φ+$\frac{π}{4}$），（ρ₃，φ-$\frac{π}{4}$），
∵點A，B，C在曲線C₁上，
∴ρ₁=4cosφ，ρ₂=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），ρ₃=4cos（φ-$\frac{π}{4}$），
∴|OB|+|OC|=ρ₂+ρ₃=4cos（φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（φ-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$cosφ=$\sqrt{2}$ρ₁，
則|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|．

點評 此題考查了參數(shù)方程化為普通方程，將參數(shù)方程正確的化為普通方程是解本題的關(guān)鍵．