Question

已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系．直線l的參數(shù)方程是：

x= 2 2 t+m y= 2 2 t.

（t是參數(shù)）
（1）求曲線C和直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=

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，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即可得出直角坐標(biāo)方程．由直線l的參數(shù)方程：

x= 2 2 t+m y= 2 2 t.

（t是參數(shù)），消去t可得．
（2）由x²+y²-4x=0化為（x-2）²+y²=4，可得圓C的圓心C（2，0），半徑r=2．利用圓心到直線l的距離d=

r2-( |AB| 2 )2

，和點(diǎn)到直線的距離可得d=

|2-0-m|

2

，即可得出．

解答： 解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，化為ρ²=4ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程x²+y²-4x=0．
由直線l的參數(shù)方程是：

x= 2 2 t+m y= 2 2 t.

（t是參數(shù)），消去t可得y=x-m．
（2）由x²+y²-4x=0化為（x-2）²+y²=4，可得圓C的圓心C（2，0），半徑r=2．
∴圓心到直線l的距離d=

r2-( |AB| 2 )2

=

2

2

，
另一方面

|2-0-m|

2

=

2

2

，
∴|m-2|=1，解得m=1或3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．