Question

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，g（x）是R上的偶函數(shù)，且f（x）+g（x）=e^x，則“a+b＞0”是“f（a）+g（b）＞0”的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：f（x）是R上的奇函數(shù)，g（x）是R上的偶函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）．利用f（x）+g（x）=e^x，可得f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=e^-x．解出f(x)=

ex-e-x

2

，g（x）=

ex+e-x

2

．再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵f（x）是R上的奇函數(shù)，g（x）是R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）．
∵f（x）+g（x）=e^x，
∴f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=e^-x．
∴f(x)=

ex-e-x

2

，g（x）=

ex+e-x

2

．
∵a+b＞0，∴b＞-a，∴e^b＞e^-a，
而e^a＞0，e^-b＞0．
∴f（a）+g（b）=

ea-e-a

2

+

eb+e-b

2

=

ea+e-b+eb-e-a

2

＞0，
反之也成立．
∴“a+b＞0”是“f（a）+g（b）＞0”的充要條件．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．