Question

求曲線y=

x

（0≤x≤4）上的一條切線，使此切線與直線x=0，x=4以及曲線y=

x

所圍成的平面圖形的面積最�。�

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線y=

x

（0≤x≤4）上任一點(diǎn)處的切線方程，再求出積分的上下限，然后利用定積分表示出圖形面積，最后利用定積分的定義進(jìn)行求解即可．

解答： 解：設(shè)（x₀，y₀）為曲線y=

x

（0≤x≤4）上任一點(diǎn)，得曲線于該點(diǎn)處的切線方程為：y-y0=

1

2 x0

(x-x0)即y=

y0

2

+

x

2 x0

．
得其與x=0，x=4的交點(diǎn)分別為(0，

y0

2

)，(4，

y0

2

+

2

y0

)
于是由此切線與直線x=0，x=4以及曲線y=

x

所圍的平面圖形面積為：S=

∫

4 0

(

y0

2

+

x

2 x0

-

x

)dx=2y0+

4

x0

-

16

3

=2

x0

+

4

x0

-

16

3

應(yīng)用均值不等式求得x₀=2時(shí)，S取得最小值．
即所求切線即為：y=

x

2 2

+

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定積分在求面積中的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，同時(shí)考查了利用定積分求圖形面積的能力．應(yīng)用定積分求平面圖形面積時(shí)，積分變量的選取是至關(guān)重要的，屬于基礎(chǔ)題．