Question

【題目】如圖，已知橢圓O： 的右焦點為F，點B，C分別是橢圓O的上、下頂點，點P是直線l：y＝－2上的一個動點(與y軸交點除外)，直線PC交橢圓于另一點M.

(1)當(dāng)直線PM過橢圓的右焦點F時，求△FBM的面積；

(2)記直線BM，BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值.

Answer 1

【答案】（1） ，（2）見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題知B(0，1)，C(0，－1)， ，滿足題意時，直線PM的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得： ，直線BF的方程為，則三角形的高為，底邊，三角形的面積為.

(2)設(shè)P(m，－2)，且m≠0，則直線PM的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，則，據(jù)此可得k1·k2為定值.

試題解析：

(1)由題知B(0，1)，C(0，－1)，焦點F(，0)，

當(dāng)直線PM過橢圓的右焦點F時，

直線PM的方程為＋＝1，即y＝x－1.

聯(lián)立解得或 (舍)，所以M.連接BF，則直線BF的方程為＋＝1，

即x＋y－＝0，

而BF＝a＝2，所以點M到直線BF的距離為

d＝＝＝.

故S△MBF＝·BF·d＝×2×＝.

(2)設(shè)P(m，－2)，且m≠0，

則直線PM的斜率為k＝＝－，

則直線PM的方程為y＝－x－1，

聯(lián)立化簡得x2＋x＝0，

解得M，

所以k1＝＝＝m，k2＝＝－，

所以k1·k2＝－·m＝－為定值.