Question

7．設函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）x∈R，ω＞0，|φ|＜π），其導函數(shù)y=f′（x）的部分圖象如圖所示，
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=e^x•f（x）的單調遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的導函數(shù)f′（x）的圖象，求出周期T與ω、A的值，再利用點的坐標求出φ的值即可；
（2）求出g（x）的導數(shù)g′（x），利用g′（x）≤0求出g（x）的單調遞減區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=Asin（ωx+φ）的導函數(shù)f′（x）=Aωcos（ωx+φ），
由圖象知T=2（$\frac{4π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=2π，
所以2π=$\frac{2π}{ω}$，得ω=1，
又Aω=$\sqrt{3}$，A=$\sqrt{3}$，
又（$\frac{\frac{π}{3}+\frac{4π}{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）在圖象上，
所以$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$cos（$\frac{5π}{6}$+φ），
即φ=-$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z；
所以取φ=-$\frac{5π}{6}$，
所以f（x）=$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{5π}{6}$）；
（2）∵函數(shù)g（x）=e^x•f（x）=e^x•$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{5π}{6}$），
∴g′（x）=$\sqrt{3}$e^x（sin（x-$\frac{5π}{6}$）+cos（x-$\frac{5π}{6}$））；
令g′（x）≤0，得sin（x-$\frac{5π}{6}$）+cos（x-$\frac{5π}{6}$）≤0，
即$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{5π}{6}$+$\frac{π}{4}$）≤0，
∴sin（x-$\frac{7π}{12}$）≤0，
解得-π+2kπ≤x-$\frac{7π}{12}$≤2kπ，k∈Z，
即-$\frac{5π}{12}$+2kπ≤x≤$\frac{7π}{12}$+2kπ，k∈Z；
∴g（x）的單調遞減區(qū)間是[-$\frac{5π}{12}$+2kπ，$\frac{7π}{12}$+2kπ]，k∈Z．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間的應用問題，是中檔題目．