Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=|lg（x+1）|，實(shí)數(shù)a，b（a＜b）滿足f（a）=f（-$\frac{b+1}{b+2}$），f（10a+6b+21）=4lg2，則a+b的值為-$\frac{11}{15}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題目給出的等式f（a）=f（-$\frac{b+1}{b+2}$），代入函數(shù)解析式得到a、b的關(guān)系，從而判斷出f（10a+6b+21）的符號(hào)，再把f（10a+6b+21）=4lg2，轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)字母的式子即可求解．

解答 解：因?yàn)閒（a）=f（-$\frac{b+1}{b+2}$），所以|lg（a+1）|=|lg（-$\frac{b+1}{b+2}$+1）|=|lg（$\frac{1}{b+2}$）|=|lg（b+2）|，
所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因?yàn)閍＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．
又由f（a）=|lg（a+1）|有意義知a+1＞0，從而0＜a+1＜b+1＜b+2，
于是0＜a+1＜1＜b+2．
所以（10a+6b+21）+1=10（a+1）+6（b+2）=6（b+2）+$\frac{10}{b+2}$＞1．
從而f（10a+6b+21）=|lg[6（b+2）+$\frac{10}{b+2}$]|=lg[6（b+2）+$\frac{10}{b+2}$]．
又f（10a+6b+21）=4lg2，
所以lg[6（b+2）+$\frac{10}{b+2}$]=4lg2，
故6（b+2）+$\frac{10}{b+2}$=16．解得b=-$\frac{1}{3}$或b=-1（舍去）．
把b=-$\frac{1}{3}$代入（a+1）（b+2）=1解得a=-$\frac{2}{5}$．
所以 a=-$\frac{2}{5}$，b=-$\frac{1}{3}$．
a+b=-$\frac{11}{15}$．
故答案為：-$\frac{11}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了數(shù)學(xué)代換思想，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)第一個(gè)等式找出a和b之間的關(guān)系，然后把一個(gè)字母用另一個(gè)字母代替，借助于第二個(gè)等式求解．