Question

4．已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，短軸長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到O′（-1，1），求橢圓C在新坐標(biāo)系下的方程；
（3）斜率為1的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，若$|{PQ}|=\sqrt{6}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)短軸長(zhǎng)、離心率及a²=b²+c²，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）將x=x′-1、y=y′+1代入橢圓方程即可；
（3）通過(guò)設(shè)直線方程為y=x+m并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、完全平方公式及兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，2b=2，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$a=\sqrt{3}$，b=1，
又∵焦點(diǎn)在x軸上，
∴橢圓C方程為：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$；
（2）∵坐標(biāo)原點(diǎn)平移到（-1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}x={x^'}-1\\ y={y^'}+1\end{array}\right.$，
∴新坐標(biāo)系下的方程為：${\frac{{（{{x^'}-1}）}}{3}^2}+{（{{y^'}+1}）^2}=1$；
（3）設(shè)直線方程為y=x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.$，消去y、整理得：4x²+6mx+3m²-3=0，
∴$x{\;}_1+{x_2}=-\frac{3m}{2}$、${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-3}}{4}$，
又∵$|{PQ}|=\sqrt{6}$，
∴$\sqrt{6}$=$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（x{\;}_1+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{9{m^2}}}{4}-4×\frac{{3{m^2}-3}}{4}}$，
解得：m=0，
∴直線方程為：y=x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．