Question

5．已知數列{a_n}前n項和為S_n，且S_n =2n-10-3a_n（n∈N^*）．
（1）試問數列{a_n-2}是否為等比數列，請說明理由；
（2）求數列{S_n}的通項公式，請指出n為何值時，S_n 取得最小值，并說明理由．（其中l(wèi)g2≈0.3，lg3≈0.4）

Answer 1

分析 （1）通過S_n =2n-10-3a_n與S_n+1 =2n+1-10-3a_n+1作差、整理得a_n+1-2=$\frac{3}{4}$（a_n-2），進而數列{a_n-2}是以-4為首項、$\frac{3}{4}$為公比的等比數列；
（2）通過（1）可知S_n=2n-10-3a_n=-16+2n+12•$（\frac{3}{4}）^{n-1}$，通過建立數列的相鄰兩項的不等式求解，再研究其單調性即可得出S_n取得最小值及對應的n的值．

解答 解：（1）結論：數列{a_n-2}是以-4為首項、$\frac{3}{4}$為公比的等比數列．
理由如下：
∵S_n =2n-10-3a_n，
∴S_n+1 =2n+1-10-3a_n+1，
兩式相減得：a_n+1=2+3a_n-3a_n+1，
整理得：a_n+1-2=$\frac{3}{4}$（a_n-2），
又∵a₁=2-10-3a₁，即a₁-2=-4，
∴數列{a_n-2}是以-4為首項、$\frac{3}{4}$為公比的等比數列；
（2）由（1）可知：a_n-2=-4•$（\frac{3}{4}）^{n-1}$，
∴S_n=2n-10-3[2-4•$（\frac{3}{4}）^{n-1}$]=-16+2n+12•$（\frac{3}{4}）^{n-1}$，
由S_n＜S_n+1，即-16+2n+12•$（\frac{3}{4}）^{n-1}$＜-16+2（n+1）+12•$（\frac{3}{4}）^{n}$，
整理得：$（\frac{3}{4}）^{n-1}$＜$\frac{2}{3}$，
兩邊同時取對數，得：（n-1）lg$\frac{3}{4}$＜lg$\frac{2}{3}$，
解得：n＞1+$\frac{lg2-lg3}{lg3-2lg2}$≈1+$\frac{0.3-0.4}{0.4-2•0.3}$=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴當n≥2時，數列{S_n}隨著n的增大而增大，
∵S₁=-16+2+12=-2，S₂=-16+4+9=-3，
∴當n=2時，S_n 取得最小值．

點評 本題考查等比關系的確定，由a_n與S_n的關系式的應用，解注意對數列的函數的特性的研究方法：即研究相鄰兩項大小再確定其單調性，從而求了最值，難度較大．