Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+2mx+m²-m+1，若方程f（f（x））=0無實根，則m的取值范圍是（-∞，2）．

Answer 1

分析 對二次方程f（x）=0，討論無實根，兩相等的實數(shù)根，兩不相等的實數(shù)根，運用判別式和配方思想，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，計算即可得到所求．

解答 解：若f（x）=x²+2mx+m²-m+1=0無實根，
即有判別式4m²-4（m²-m+1）＜0，
解得m＜1，
則f（f（x））={[（x+m）²+1-m]+m}²+1-m＞0，
即有方程f（f（x））=0無實根；
若f（x）=0有兩個相等的實根，即有m=1，
則f（f（x））=[（x+1）²+1]²＞0，
即有方程f（f（x））=0無實根；
若f（x）=0有兩個不相等的實根，即有m＞1，
當(dāng)y=f（f（x））的圖象與x軸相切時，
即有頂點（-m，2-m）在x軸上，即為m=2，
由于開口向上，當(dāng)1＜m＜2時，
即有方程f（f（x））=0無實根．
綜上可得m的范圍是（-∞，2）．
故答案為：（-∞，2）．

點評 本題考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化，考查二次方程的根的分布，以及函數(shù)的迭代的性質(zhì)，和分類討論的思想方法，屬于中檔題．