Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x+a．
（1）當(dāng)函數(shù)圖象過（3，1）點(diǎn)時，求函數(shù)在該點(diǎn)處的切線方程；
（2）求方程f（x）=0有三個解時，實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極值，由題意可令極大值大于0，且極小值小于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題意可得f（3）=1，
即為9-$\frac{27}{2}$+6+a=1，
解得a=-$\frac{1}{2}$，
函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x-$\frac{1}{2}$的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=x²-3x+2，
函數(shù)在（3，1）處的切線斜率為k=2，
即有函數(shù)在（3，1）處的切線方程為y-1=2（x-3），
即為2x-y-5=0；
（2）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²-3x+2，
當(dāng)x＞2或x＜1時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)1＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=1處f（x）取得極大值，且為a+$\frac{5}{6}$，
x=2處f（x）取得極小值，且為a+$\frac{2}{3}$．
由方程f（x）=0有三個解時，
則f（1）＞0且f（2）＜0．
即有-$\frac{5}{6}$＜a＜-$\frac{2}{3}$．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．