Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（α）=$\frac{6}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{4}$），求cosα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)得到f（x）=2sin2x，由此能求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）法1：由f（α）=2sin2α=$\frac{6}{5}$，得到sin2α=$\frac{3}{5}$，由此先求出cos2α，再由 $α∈（0，\frac{π}{4}）$，能求出cosα．
法2：由f（α）=2sin2α=$\frac{6}{5}$，得到sin2α=$\frac{3}{5}$，由此利用二倍角公式和同角三角函數(shù)間的關(guān)系式得${cos^4}α-{cos^2}α+\frac{9}{100}=0$，再由 $α∈（0，\frac{π}{4}）$，能求出cosα．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$sin（2x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}cos（2x+\frac{π}{3}）=2sin（2x+\frac{π}{3}-\frac{π}{3}）$=2sin2x…（3分）
∴函數(shù)y=sinX的單調(diào)增區(qū)間為$[-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ]，k∈Z$
∴由$-\frac{π}{2}+2kπ$≤2x≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
得$-\frac{π}{4}+kπ$≤x≤$\frac{π}{4}+kπ$，k∈Z，…（4分）
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間：$[-\frac{π}{4}+kπ$，$\frac{π}{4}+kπ]$，k∈Z，…（5分）
（Ⅱ）解法1：$f（α）=2sin2α=\frac{6}{5}⇒$$sin2α=\frac{3}{5}$，…（7分）
又$α∈（0，\frac{π}{4}）$，故$cos2α=\frac{4}{5}=2{cos^2}α-1$…（9分）
∴$cosα=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，…（10分）
解法2：$f（α）=2sin2α=\frac{6}{5}⇒$$sin2α=2sinαcosα=\frac{3}{5}$，…（7分）
又sin²α+cos²α=1…（8分）
消去sinα，得${cos^4}α-{cos^2}α+\frac{9}{100}=0$，
解得${cos^2}α=\frac{1}{10}$或${cos^2}α=\frac{9}{10}$，
從而$cosα=±\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，或$cosα=±\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，…（9分）
因?yàn)?α∈（0，\frac{π}{4}）$，所以$cosα=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的增區(qū)間和函數(shù)值的求法，是中檔題，解題要認(rèn)真審題，注意二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、三角函數(shù)恒等式的合理運(yùn)用．