Question

某同學(xué)對函數(shù)f（x）=xcosx進(jìn)行研究后，得出以下五個(gè)結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形；
②對任意實(shí)數(shù)x，f（x）＞0均成立；
③函數(shù)的圖象與x軸有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；
⑤當(dāng)常數(shù)k滿足|k|＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：余弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=xcosx是奇函數(shù)可得①正確；根據(jù)f（x）=xcosx的值可正可負(fù)，可得②不正確；根據(jù)當(dāng)x=kπ+

π

2

，k∈z 時(shí)，函數(shù)f（x）=xcosx=0，且f（0）=0，可得③不正確．根據(jù)當(dāng) x=2kπ，k∈z 時(shí)，方程xcosx=x 成立，可得④正確．根據(jù)方程 xcosx=kx，|k|＞1，有唯一解為 x=0，可得⑤正確．

解答： 解：對函數(shù)f（x）=xcosx進(jìn)行研究后，
根據(jù)此函數(shù)為奇函數(shù)，可得它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故①正確．
根據(jù)cosx∈[-1，1]，且y=cosx為周期函數(shù)，可得f（x）=xcosx的值可正可負(fù)，故②不正確．
由于當(dāng)x=0或x=kπ+

π

2

，k∈z 時(shí)，函數(shù)f（x）=xcosx=0，且f（0）=0，
故函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，但任意相鄰兩個(gè)公共點(diǎn)的距離不一定相等，
如相鄰的公共點(diǎn)（0，0）、（

π

2

，0）、（

3π

2

，0），故③不正確．
由于方程xcosx=x 即cosx=1，故 x=2kπ，k∈z，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，
且任意相鄰兩個(gè)點(diǎn)的距離相等，且等于2π，故④正確．
由方程 xcosx=kx，|k|＞1，可得此方程有唯一解為 x=0，故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx
有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故⑤正確．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．