Question

8．某市于今年1月1日起實施小汽車限購政策．根據(jù)規(guī)定，每年發(fā)放10萬個小汽車名額，其中電動小汽車占20%，通過搖號方式發(fā)放，其余名額通過搖號和競價兩種方式各發(fā)放一半．政策推出后，某網(wǎng)站針對不同年齡段的申請意向進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果如下表所示：

申請意向 年齡	搖號		競價（人數(shù)）	合計
	電動小汽車（人數(shù)）	非電動小汽車（人數(shù)）
30歲以下 （含30歲）	50	100	50	200
30至50歲 （含50歲）	50	150	300	500
50歲以上	100	150	50	300
合計	200	400	400	1000

（1）采取分層抽樣的方式從30至50歲的人中抽取10人，求其中各種意向人數(shù)；
（2）用樣本估計總體，在全體市民中任意選取4人，其中搖號申請電動小汽車意向的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）采取分層抽樣的方式從30至50歲的人中抽取10人，每個人被抽到的概率為$\frac{1}{50}$，由此能求出各種意向人數(shù)．
（2）根據(jù)題意得出X～B（4，$\frac{1}{5}$），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）采取分層抽樣的方式從30至50歲的人中抽取10人，
∵30至50歲的有500人，
∴每個人被抽到的概率為p₁=$\frac{10}{500}$=$\frac{1}{50}$，
根據(jù)題意得出：電動小汽車，搖號的有50×$\frac{1}{50}$=1，
非電動小汽車，搖號的有300×$\frac{1}{50}$=6．
（2）根據(jù)題意得出：樣本總?cè)藬?shù)1000人，電動小汽車搖號的有200人，
非電動小汽車搖號的有400人，競價的有400人，總共有1000人，
用樣本估計總體，在全體市民中任意選取4人，其中搖號申請電動小汽車意向的概率為p=$\frac{200}{100}=\frac{1}{5}$，
搖號申請電動小汽車意向的人數(shù)記為X，X=0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{5}$），P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{4}{5}）^{4}$=$\frac{256}{625}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{5}）（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{256}{625}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{96}{625}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}（\frac{4}{5}）$=$\frac{16}{625}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{5}）^{4}=\frac{1}{625}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{256}{625}$	$\frac{256}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$	$\frac{1}{625}$

E（X）=$0×\frac{256}{625}$+$1×\frac{256}{625}$+$2×\frac{96}{625}$+3×$\frac{16}{625}$+4×$\frac{1}{625}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查分層抽樣的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．