Question

8．某市于今年1月1日起實(shí)施小汽車限購(gòu)政策．根據(jù)規(guī)定，每年發(fā)放10萬(wàn)個(gè)小汽車名額，其中電動(dòng)小汽車占20%，通過(guò)搖號(hào)方式發(fā)放，其余名額通過(guò)搖號(hào)和競(jìng)價(jià)兩種方式各發(fā)放一半．政策推出后，某網(wǎng)站針對(duì)不同年齡段的申請(qǐng)意向進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果如下表所示：

申請(qǐng)意向 年齡	搖號(hào)		競(jìng)價(jià)（人數(shù)）	合計(jì)
	電動(dòng)小汽車（人數(shù)）	非電動(dòng)小汽車（人數(shù)）
30歲以下 （含30歲）	50	100	50	200
30至50歲 （含50歲）	50	150	300	500
50歲以上	100	150	50	300
合計(jì)	200	400	400	1000

（1）采取分層抽樣的方式從30至50歲的人中抽取10人，求其中各種意向人數(shù)；
（2）用樣本估計(jì)總體，在全體市民中任意選取4人，其中搖號(hào)申請(qǐng)電動(dòng)小汽車意向的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）采取分層抽樣的方式從30至50歲的人中抽取10人，每個(gè)人被抽到的概率為$\frac{1}{50}$，由此能求出各種意向人數(shù)．
（2）根據(jù)題意得出X～B（4，$\frac{1}{5}$），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）采取分層抽樣的方式從30至50歲的人中抽取10人，
∵30至50歲的有500人，
∴每個(gè)人被抽到的概率為p₁=$\frac{10}{500}$=$\frac{1}{50}$，
根據(jù)題意得出：電動(dòng)小汽車，搖號(hào)的有50×$\frac{1}{50}$=1，
非電動(dòng)小汽車，搖號(hào)的有300×$\frac{1}{50}$=6．
（2）根據(jù)題意得出：樣本總?cè)藬?shù)1000人，電動(dòng)小汽車搖號(hào)的有200人，
非電動(dòng)小汽車搖號(hào)的有400人，競(jìng)價(jià)的有400人，總共有1000人，
用樣本估計(jì)總體，在全體市民中任意選取4人，其中搖號(hào)申請(qǐng)電動(dòng)小汽車意向的概率為p=$\frac{200}{100}=\frac{1}{5}$，
搖號(hào)申請(qǐng)電動(dòng)小汽車意向的人數(shù)記為X，X=0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{5}$），P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{4}{5}）^{4}$=$\frac{256}{625}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{5}）（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{256}{625}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{96}{625}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}（\frac{4}{5}）$=$\frac{16}{625}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{5}）^{4}=\frac{1}{625}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{256}{625}$	$\frac{256}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$	$\frac{1}{625}$

E（X）=$0×\frac{256}{625}$+$1×\frac{256}{625}$+$2×\frac{96}{625}$+3×$\frac{16}{625}$+4×$\frac{1}{625}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分層抽樣的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．