【題目】已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點、，在軸上是否存在點，使得為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）（2）存在點，使得

【解析】

（1）先求出拋物線的焦點，從而得到橢圓的，再結(jié)合離心率以及即可求出的值，從而求出橢圓方程.

（2）先假設(shè)存在，然后設(shè)出直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，利用與來表示，要使得其為定值，則與無關(guān)，即可求出的值，并求出的值，再驗證當(dāng)直線斜率為0也符合即可.

解：（Ⅰ）∵拋物線的焦點為，∴，∴，

又因為橢圓的離心率為，即，∴，，則，

因此，橢圓的方程為；

（Ⅱ）假設(shè)存在點，使得為定值．

當(dāng)直線的斜率不為零時，可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，得，

設(shè)、，由韋達(dá)定理可得，，

、，

∴

，

要使上式為定值，即與無關(guān)，應(yīng)有，解得，此時，.

當(dāng)直線的斜率為零時，不妨設(shè)、，當(dāng)點的坐標(biāo)為時，．

綜上所述，存在點，使得．

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，底面，，點在線段上，平面平面.

（1）請指出點的位置，并給出證明；

（2）若，求點到平面的距離.

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【題目】已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與E交于A，B兩點，C，D分別為A，B在l上的射影，且，M為AB中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.B.為等腰直角三角形

C.直線AB的斜率為D.的面積為4

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【題目】已知中，角所對的邊分別是，的面積為，且，.

（1）求的值；

（2）若，求的值.

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【題目】拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，且過點（4，4），焦點為F．

（1）求拋物線的焦點坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）P是拋物線上一動點，M是PF的中點，求M的軌跡方程．

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【題目】已知橢圓的四個頂點組成的四邊形的面積為，且經(jīng)過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓的下頂點為，如圖所示，點為直線上的一個動點，過橢圓的右焦點的直線垂直于，且與交于兩點，與交于點，四邊形和的面積分別為．求的最大值．

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【題目】某城市交通部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照，，，，分成5組，制成如圖所示頻率分直方圖.

（1）求圖中的值及這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；

（2）已知滿意度評分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為，若在滿意度評分值為的人中隨機抽取2人進(jìn)行座談，求2人均為男生的概率.

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【題目】設(shè)是圓上的任意一點，是過點且與軸垂直的直線，是直線與軸的交點，點在直線上，且滿足.當(dāng)點在圓上運動時，記點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知點，過的直線交曲線于兩點，交直線于點.判定直線的斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？并說明理由.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線上的動點到點的距離減去到直線的距離等于1.

(1)求曲線的方程；

(2)若直線 與曲線交于，兩點，求證：直線與直線的傾斜角互補.

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