Question

已知梯形ABCD中AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x．沿EF將梯形AEFD翻折，
使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．G是BC的中點．
（1）當x=2時，求證：BD⊥EG；
（2）當x變化時，求三棱錐D-BCF體積的最大值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用面面垂直的性質證線面垂直，由線面垂直⇒線線垂直，再由線線垂直證線面垂直，由線面垂直的性質證得線線垂直；
（2）根據題意先求得棱錐的高，再根據體積公式求三棱錐的體積即可，從而可求三棱錐D-BCF體積的最大值．

解答： （1）證明：作DH⊥EF，垂足H，連結BH，GH，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，交線EF，DH?平面AEFD，
∴DH⊥平面EBCF，又EG?平面EBCF，故EG⊥DH． 
∵EH=AD=

1

2

BC=BG，EF∥BC，∠ABC=90°．
∴四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH．               
又BH、DH?平面DBH，且BH∩DH=H，故EG⊥平面DBH．
又BD?平面DBH，∴EG⊥BD．                    
（2）解：∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交線EF，AE?平面AEFD．
∴AE⊥面EBCF．又由（1）DH⊥平面EBCF，故AE∥GH，
∴四邊形AEHD是矩形，DH=AE，故以F、B、C、D為頂點的三
棱錐D-BCF的高DH=AE=x．                      
又S_△BCF=

1

2

BC•BE=8-2x，（0＜x＜4）．           
∴三棱錐D-BCF的體積f（x）=

1

3

S△BFC•AE=

1

3

（8-2x）x=-

2

3

x2+

8

3

x，（0＜x＜4）．           
∴x=2時，最大值為

8

3

．

點評：本題考查線面垂直的性質及棱錐的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．