在四棱錐P-ABCD中，地面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC=
π
2
，AB=BC=
1
2
AD=2，PA=PB=PA=
6
，E為線段PC上的動點．
（1）證明：CD⊥AE；
（2）求直線PB與平面PAD所成角的正弦值．
考點：直線與平面所成的角
專題：空間位置關系與距離,空間角
分析：（1）利用線面垂直，證明線線垂直，CD⊥面PAC，易得CD⊥AE；
（2）向量法求線面角．
解答： 解：（1）證明：設AC的中點為O，連接PO、OB，由PA=PC得PO⊥AC，
在Rt△ABC中，AB=AC，∴OA=OB=OC，
又∵PA=PB=PC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，
∴PO⊥OB，
由AC與OB相交可知PO⊥平面ABC，∴PO⊥CD，…4分
在直角梯形ABCD中，易求得AC=CD=2
2
，
∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=
π
2
，∴AC⊥CD，∴CD⊥面PAC，
∴CD⊥AE；…6分
（2）建立空間直角坐標系O-xyz，其中x軸∥AB，y軸∥AD，則A（-1，-1，0），B（1，-1，0），D（-1，3，0），
由PO=
PB2-BO2
=
(
6
)2-(
2
)2
=2知P（0，0，2），…8分
設平面PAD的法向量為
n
=（x，y，z），
AP
=（1，1，2），
AD
=（0，4，0），
則
n
•
AP
=0
n
•
AD
=0
    即
x+y+2z=0
4y=0
，取
n
=（-2，0，1），…10分
設直線PB與平面PAD所成角為
θ，
BP
=（-1，1，2），
sinθ=|cos＜
BP
，
n
＞|=
|
BP
•
n
|
|
BP
||
n
|
=
2
15
30

直線PB與平面PAD所成角的正弦值為
2
15
30
…12分
點評：本題考查的知識點是線線垂直，線面角解答（1）的關鍵是熟練掌握空間線面垂直與線線垂直的轉(zhuǎn)換，解答（2）的關鍵是建立空間坐標系，將空間線面夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），C（cosγ，sinγ），O為坐標原點．若向量
OA
+k
OB
+（2-k）
OC
=
O
（k為常數(shù)，且0＜k＜2），求cos（β-γ）最大值，最小值，以及相應的k值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知，全集U={x|-5≤x≤3}，A={x|-5≤x＜-1}，B={x|-1≤x＜1}，求∁UA，∁UB，（∁UA）∩（∁UB），（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∩B），∁U（A∪B），并指出其中相關的集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線 C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，且拋物線C在A，B兩點處的切線相交于點M．
（Ⅰ）若△MAB面積的最小值為4，求p的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若△MAB的三邊長成等差數(shù)列，求此時點M到直線AB的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若拋物線y2=2px的焦點與雙曲線x2-
y2
3
=1的右焦點重合，則p的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知梯形ABCD中AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
π
2
，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x．沿EF將梯形AEFD翻折，
使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．G是BC的中點．
（1）當x=2時，求證：BD⊥EG；
（2）當x變化時，求三棱錐D-BCF體積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

m，n是空間兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，下面有四個命題：
①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n
②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β
③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β
④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β
其中真命題的編號是
 
；（寫出所有真命題的編號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在等式
1
(   )
+
4
(   )
+
9
(    )
=1的分母上的三個括號中各填入一個正整數(shù)，使得該等式成立，則所填三個正整數(shù)的和的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知不等式x2+bx-a＜0的解集是{x|3＜x＜4}，則a+b=
 
．

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