Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中．底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，AP∥CQ，AB=2BC=2，CQ=$\frac{3}{2}$AP=3．
（1）求直線PD與平面BPQ所成角的正弦值；
（2）求二面角A-PQ-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標(biāo)原點，以DA的方向為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，A（0，0，0），B（0，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，2），Q（-1，2，3），設(shè)設(shè)直線PD與平面BPQ所成角θ，由向量法能求出直線PD與平面BPQ所成角的正弦值
（2）設(shè)平面APQ的法向量為$\overrightarrow{m}$（x，y，z），設(shè)二面角A-PQ-B的平面角為β，則cosβ=cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞，問題得以解決．

解答 解：（1）由于底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，
以A為坐標(biāo)原點，以DA的方向為x軸，以AB為y軸，以AP為z軸，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，
∵AP∥CQ，AB=2BC=2，CQ=$\frac{3}{2}$AP=3，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，2），Q（-1，2，3），
∴$\overrightarrow{PD}$=（-1，0，-2），$\overrightarrow{BP}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{BQ}$=（-1，0，3），
設(shè)平面BPQ的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BQ}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2y+2z=0}\\{-x+3z=0}\end{array}\right.$，
令x=3，則y=1，z=1，
∴$\overrightarrow{n}$=（3，1，1），
∴$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{n}$=-3-2=-5，|$\overrightarrow{PD}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{11}$
設(shè)直線PD與平面BPQ所成角θ，向量$\overrightarrow{PD}$與向量$\overrightarrow{n}$的夾角為α，
∴sinθ=|cosα|=|$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PD}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{7}{\sqrt{5×19}}$$\frac{5}{\sqrt{5}•\sqrt{11}}$=$\frac{\sqrt{55}}{11}$
（2）設(shè)平面APQ的法向量為$\overrightarrow{m}$（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AQ}$=（-1，2，3），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AQ}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y+3z=0}\\{2z=0}\end{array}\right.$，
令x=2，則y=1，z=0，
∴$\overrightarrow{m}$=（2，1，0），
∴|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{5}$，
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{m}$=3×2+1×1+0=7，
設(shè)二面角A-PQ-B的平面角為β
∴cosβ=cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m•}\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{7}{\sqrt{5×11}}$=$\frac{7\sqrt{55}}{55}$．

點評 本題考查求二面角的大小，求直線與平面所成角的正弦值．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．