Question

9．已知曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=2+sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．（其中坐標系滿足極坐標原點與直角坐標系原點重合，極軸與直角坐標系x軸正半軸重合，單位長度相同．）
（Ⅰ）將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，把直線l的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設M是直線l與x軸的交點，N是曲線C上一動點，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用cos²θ+sin²θ=1，可把曲線C的參數(shù)方程可化為普通方程；直線l的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．可化為 $\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，
，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直線l的直角坐標方程．
（Ⅱ）令y=0，得x=2，即M點的坐標為（2，0）．又曲線c為圓，圓C的圓心坐標為（1，2），半徑r=1，則|MC|=$\sqrt{5}$．利用|MN|≤|MC|+r即可得出．

解答 解：（Ⅰ）利用cos²θ+sin²θ=1，可把曲線C的參數(shù)方程可化為（x-1）²+（y-2）²=1，
直線l的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．可化為 $\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=$\sqrt{2}$，
可得：直線l的直角坐標方程為 x+y-2=0．
（Ⅱ）令y=0，得x=2，即M點的坐標為（2，0）．
又曲線c為圓，圓C的圓心坐標為（1，2），半徑r=1，則|MC|=$\sqrt{5}$．
∴|MN|≤|MC|+r=$\sqrt{5}$+1，
∴|MN|的最大值為$\sqrt{5}+$1．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．