Question

19．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為2ρsinθ+ρcosθ=10．曲線 c₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線c₁的普通方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)M在曲線C₁上運(yùn)動(dòng)，試求出M到曲線C的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）用x，y表示出cosα，sinα利用cos²α+sin²α=1消參數(shù)得到曲線C₁的普通方程；
（2）先求出曲線C的普通方程，使用參數(shù)坐標(biāo)求出點(diǎn)M到曲線C的距離，得到關(guān)于α的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出距離的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，∴cosα=$\frac{x}{3}$，sinα=$\frac{y}{2}$，∴曲線C₁的普通方程是：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）曲線C的普通方程是：x+2y-10=0．
點(diǎn)M到曲線C的距離為$d=\frac{{|{3cosα+4sinα-10}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}|{5cos（α-φ）-10}|$，（$cosφ=\frac{3}{5}，sinφ=\frac{4}{5}$）．
∴α-φ=0時(shí)，${d_{min}}=\sqrt{5}$，此時(shí)$M（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．