Question

12．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足|${\overrightarrow a}$|=3，|${\overrightarrow b}$|=2，|${\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b}$|≤4，則$\overrightarrow b$在$\overrightarrow a$上的投影長度取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{9}{8}$，2]
• B． [$\frac{3}{4}$，+∞）
• C． [$\frac{3}{4}$，2]
• D． （0，$\frac{3}{4}$]

Answer 1

分析 求$\overrightarrow b$，$\overrightarrow a$的夾角的范圍，代入投影公式計算最值．

解答 解：∵|${\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b}$|≤4，
∴|${\overrightarrow a$|²-4${\overrightarrow a$•$\overrightarrow b}$+4|$\overrightarrow b}$|²≤16，
∴9-4${\overrightarrow a$•$\overrightarrow b}$+16≤16，
∴${\overrightarrow a$•$\overrightarrow b}$≥$\frac{9}{4}$，
設(shè)$\overrightarrow b$，$\overrightarrow a$的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$≥$\frac{3}{8}$，
又∵cosθ≤1，
∴$\frac{3}{8}$≤cosθ≤1，
∴$\frac{3}{4}$≤|$\overrightarrow$|cosθ≤2，
故選：C

點評 本題考查了平面向量數(shù)量積的運算與應(yīng)用，求出向量夾角是關(guān)鍵．