Question

19．設橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），過點Q（$\sqrt{2}$，1），右焦點F（$\sqrt{2}$，0），
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=k（x-1）分別交x軸，y軸于C，D兩點，且與橢圓C交于M，N兩點，若$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{MD}$，求k值；
（Ⅲ）自橢圓C上異于其頂點的任意一點P，作圓O：x²+y²=2的兩條切線切點分別為P₁，P₂，若直線P₁P₂在x軸，y軸上的截距分別為m，n，證明：$\frac{1}{m^2}+\frac{2}{n^2}$=1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將Q的坐標代入橢圓方程，以及a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）求出直線l與x，y軸的交點，代入橢圓方程，運用韋達定理，以及向量共線的坐標表示，可得k的值；
（Ⅲ）由切線的性質，結合四點共圓判斷可得P，P₁，O，P₂四點共圓，可得其圓心O'（$\frac{{x}_{P}}{2}$，$\frac{{y}_{P}}{2}$），求得圓方程，由兩圓方程相減可得相交弦方程，由題意可得P₁P₂的方程為$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$=1，求得P的坐標，代入橢圓方程即可得證．

解答 解：（Ⅰ）橢圓過點Q（$\sqrt{2}$，1），
可得$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，由題意可得c=$\sqrt{2}$，即a²-b²=2，
解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
即有橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）直線l：y=k（x-1）與x軸交點C（1，0），y軸交點D（0，-k），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消y得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，①
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{CN}$=（x₂-1，y₂），$\overrightarrow{MD}$=（-x₁，-k-y₁），
由$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{MD}$，得：x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅲ）證明：因為P₁，P₂為切點，所以OP₁⊥PP₁，OP₂⊥PP₂，
所以P，P₁，O，P₂四點共圓，
其圓心O'（$\frac{{x}_{P}}{2}$，$\frac{{y}_{P}}{2}$），方程為（x-$\frac{{x}_{P}}{2}$）²+（y-$\frac{{y}_{P}}{2}$）²=$\frac{{{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}}{4}$，
整理得x²+y²-xx_P-yy_P=0，
P₁，P₂是圓O與圓O'的交點，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-x{x}_{P}-y{y}_{P}=0}\end{array}\right.$得xx_P+yy_P=2，
直線P₁P₂在x軸，y軸上的截距分別為m，n，
可得直線P₁P₂的方程為$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$=1，
得x_P=$\frac{2}{m}$，y_P=$\frac{2}{n}$，
因為P（x_P，y_P）在橢圓x²+2y²=4上，
則（$\frac{2}{m}$）²+2（$\frac{2}{n}$）²=4，
整理得$\frac{1}{m^2}+\frac{2}{n^2}$=1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和向量相等的條件，同時考查圓方程的求法，以及兩圓相交弦的問題，考查運算能力，屬于中檔題．