Question

14．已知橢圓C：2x²+y²=16．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設(shè)O為原點，點A在橢圓C上，點B在直線x=4上，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，求直線AB截圓x²+y²=17所得弦長為l．

Answer 1

分析 （1）化橢圓方程為標準式，求出a，b的值，利用隱含條件求得c，則橢圓離心率可求；
（2）依題意設(shè)（x₀，y₀），B（4，t），由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，把B的坐標用A的坐標表示，寫出過A、B的點斜式方程，由點到直線的距離公式求出坐標原點O到AB的距離，再由垂徑定理求得直線AB截圓x²+y²=17所得弦長．

解答 解：（1）由橢圓C：2x²+y²=16，得$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，
∴$a=4，b=2\sqrt{2}$，則$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{16-8}=2\sqrt{2}$．
故橢圓C的離心率為e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）設(shè)A（x₀，y₀），B（4，t），
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{16}=1$，①
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，得$t=\frac{4{x}_{0}}{-{y}_{0}}$，②
根據(jù)點斜式得到直線AB的方程為：y-t=$\frac{{y}_{0}-t}{{x}_{0}-4}（x-4）$，化簡得
（y₀-t）x-（x₀-4）y-4y₀+tx₀=0．
原點O到AB的距離d=$\frac{|-4{y}_{0}+t{x}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-t）^{2}+（{x}_{0}-4）^{2}}}$．
將①②代入可得：d=$\frac{|-4{y}_{0}+t{x}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-t）^{2}+（{x}_{0}-4）^{2}}}$=$\frac{|4{y}_{0}-\frac{4{x}_{0}}{-{y}_{0}}|}{\sqrt{{{y}_{0}}^{2}-2•\frac{4{x}_{0}}{-{y}_{0}}•{y}_{0}+{{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+16}}$
=$\frac{|4{{y}_{0}}^{2}+4{{x}_{0}}^{2}|}{\sqrt{{{y}_{0}}^{4}+16{{x}_{0}}^{2}+{{x}_{0}}^{2}{{y}_{0}}^{2}+16{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{|2{{y}_{0}}^{2}+32|}{\sqrt{\frac{1}{2}（{{y}_{0}}^{2}+16）^{2}}}=2\sqrt{2}•\frac{{{y}_{0}}^{2}+16}{{{y}_{0}}^{2}+16}=2\sqrt{2}$．
在圓x²+y²=17中，利用勾股定理可得$\frac{l}{2}=\sqrt{17-（2\sqrt{2}）^{2}}=3$．
∴直線AB截圓x²+y²=17所得弦長為6．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題．