Question

6．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=AA₁=2，AB=2$\sqrt{3}$ E，F(xiàn)，G分別是A₁C₁，BC，AA₁的中點(diǎn)．
（1）證明：平面AEB⊥平面BB₁CC₁
（2）證明：C₁F∥平面ABE
（3）求三棱錐C₁-B₁GF的體積．

Answer 1

分析 （1）由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁得B₁B⊥平面ABC，從而有B₁B⊥BC，由AB，BC，AC的長度可得AB⊥BC，可證AB⊥平面B₁BC，推出平面AEB⊥平面BB₁C₁C；
（2）取AB中點(diǎn)D，連結(jié)DF，DE，由中位線定理可得DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，又因?yàn)镋C₁∥AC，EC₁=$\frac{1}{2}$AC，故而四邊形EDFC₁是平行四邊形，所以C₁F∥DE，推出C₁F∥平面ABE
（3）取B₁B中點(diǎn)M，B₁C₁中點(diǎn)N，連結(jié)GM，F(xiàn)N，則GM⊥平面BB₁C₁C，即GM為棱錐的高，底面B₁C₁F是等腰三角形，代入體積公式計(jì)算即可．

解答 證明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴B₁B⊥平面ABC，∵BC?平面ABC，
∴B₁B⊥BC，
∵AC=4，CB=2，AB=2$\sqrt{3}$，
∴BC²+AB²=AC²，即AB⊥BC，
又∵B₁B?平面面BB₁C₁C，BC?平面BB₁C₁C，B₁B∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C，∵AB?平面AEB，
∴平面AEB⊥平面BB₁C₁C．
（2）取AB中點(diǎn)D，連結(jié)DF，DE，
則DF是△ABC的中位線，∴DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∵四邊形A₁ACC₁是平行四邊形，E是A₁C₁的中點(diǎn)，
∴EC₁∥AC，EC₁=$\frac{1}{2}$AC，
∴EC₁∥DF，EC₁=DF，
∴四邊形EDFC₁是平行四邊形，
∴C₁F∥DE，∵DE?平面ABE，C₁F?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE．
（3）取B₁B中點(diǎn)M，B₁C₁中點(diǎn)N，連結(jié)GM，F(xiàn)N，
則GM∥AB，GM=AB=2$\sqrt{3}$，F(xiàn)N⊥B₁C₁，F(xiàn)N=A₁A=2，B₁C₁=BC=2
∵AB⊥平面BB₁C₁C，
∴GM⊥平面BB₁C₁C，
∴V${\;}_{棱錐{C}_{1}-{B}_{1}GF}$=V${\;}_{棱錐G-{B}_{1}{C}_{1}F}$=$\frac{1}{3}$•S${\;}_{△{B}_{1}{C}_{1}F}$•GM=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•B₁C₁•FN•GM=$\frac{1}{3}$$•\frac{1}{2}$•2•2•2$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，面面垂直的判定和幾何體體積，構(gòu)造平行線和垂線是解題關(guān)鍵．