Question

6．某校選擇高一年級(jí)三個(gè)班進(jìn)行為期二年的教學(xué)改革試驗(yàn)，為此需要為這三個(gè)班各購買某種設(shè)備1臺(tái)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，該種設(shè)備有甲乙兩型產(chǎn)品，甲型價(jià)格是3000元/臺(tái)，乙型價(jià)格是2000元/臺(tái)，這兩型產(chǎn)品使用壽命都至少是一年，甲型產(chǎn)品使用壽命低于2年的概率是$\frac{1}{4}$，乙型產(chǎn)品使用壽命低于2年的概率是$\frac{2}{3}$，若某班設(shè)備在試驗(yàn)期內(nèi)使用壽命到期，則需要再購買乙型產(chǎn)品更換．
（1）若該校購買甲型2臺(tái)，乙型1臺(tái)，求試驗(yàn)期內(nèi)購買該種設(shè)備總費(fèi)用恰好是10000元的概率；
（2）該校有購買該種設(shè)備的兩種方案，A方案：購買甲型3臺(tái)；B方案：購買甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)．若根據(jù)2年試驗(yàn)期內(nèi)購買該設(shè)備總費(fèi)用的期望值決定選擇哪種方案，你認(rèn)為該校應(yīng)該選擇哪種方案？

Answer 1

分析 （1）總費(fèi)用為10000元，說明試驗(yàn)期內(nèi)恰好有1臺(tái)設(shè)備使用壽命到期，由此能求出其概率．
（2）若選擇方案A方案，記試驗(yàn)期內(nèi)更換該種設(shè)備數(shù)為X，總費(fèi)用為Y元，則X～B（3，$\frac{1}{4}$），又Y=9000+2000X，從而EY=9000+2000EX=10500；若選擇B方案，記試驗(yàn)期內(nèi)更換該種設(shè)備臺(tái)數(shù)為ξ，總費(fèi)用η元，則η=8000+2000ξ，求出E（η）=8000+2000E（ξ）=$\frac{31000}{3}$．由此能求出選擇B方案．

解答 解：（1）總費(fèi)用為10000元，說明試驗(yàn)期內(nèi)恰好有1臺(tái)設(shè)備使用壽命到期，
概率為：p=${C}_{2}^{1}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}+（\frac{3}{4}）^{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$．
（2）若選擇方案A方案，記試驗(yàn)期內(nèi)更換該種設(shè)備數(shù)為X，總費(fèi)用為Y元，
則X～B（3，$\frac{1}{4}$），∴E（X）=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
又Y=9000+2000X，
∴EY=9000+2000EX=10500，
若選擇B方案，記試驗(yàn)期內(nèi)更換該種設(shè)備臺(tái)數(shù)為ξ，總費(fèi)用η元，
則P（ξ=0）=$（\frac{3}{4}）^{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{9}{48}$，
P（ξ=1）=$\frac{24}{48}$，
P（ξ=2）=（$\frac{1}{4}$）²×$\frac{1}{3}+{C}_{2}^{1}×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}$=$\frac{13}{48}$，
P（ξ=3）=（$\frac{1}{4}$）²×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{48}$，
∴E（ξ）=$\frac{0+24+26+6}{48}$=$\frac{7}{6}$，
∵η=8000+2000ξ，∴E（η）=8000+2000E（ξ）=$\frac{31000}{3}$．
∵10500＞$\frac{31000}{3}$，∴選擇B方案．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．