Question

已知二次函數(shù)y=f（x），x∈R為偶函數(shù)，最小值為1，且圖象過點(diǎn)（2，5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（2x+1）-3x²，x∈（-3，1），求g（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可設(shè)f（x）=ax²+1，a＞0，再根據(jù)圖象過點(diǎn)（2，5），求得a=1，可得f（x）的解析式．
（2）由于g（x）=f（2x+1）-3x²=（x+2）²-2，x∈（-3，1），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)g（x）的值域．

解答： 解：（1）由二次函數(shù)y=f（x），x∈R為偶函數(shù)，最小值為1，可設(shè)f（x）=ax²+1，a＞0，
再根據(jù)圖象過點(diǎn)（2，5），可得4a+1=5，求得 a=1，∴f（x）=x²+1．
（2）由于g（x）=f（2x+1）-3x² =（2x+1）²+1-3x² =x²+4x+2=（x+2）²-2，x∈（-3，1），
故當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值為-2，當(dāng)x趨于1時(shí)，g（x）趨于最大7，故函數(shù)g（x）的值域?yàn)閇-2，7）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．