Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=

1

2

（a_n²+a_n），a_n＞0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=

n

2n-1

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在正整數(shù)m，使得m≤T_n＜m+3，對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，若存在，求出m值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把題目給出的數(shù)列遞推式變形，取n=1時(shí)求得首項(xiàng)，取n=n-1時(shí)得到另一遞推式，作差后整理得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列并求得公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）由錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求出T_n是單調(diào)增函數(shù)，得到T_n的取值范圍，則答案可求．

解答： 解：（1）由S_n=

1

2

（a_n²+a_n），得an2+an-2Sn=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，an-12+an-1-2Sn-1=0，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
又a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1．
當(dāng)n=1時(shí)，a12+a1-2a1=0，
∴a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）=n；
（2）∵bn=

n

2n-1

，
∴Tn=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+…+n•(

1

2

)n-1．
∴

1

2

Tn=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，
故

1

2

Tn=1+

1

2

+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n．
∴Tn=4[1-(

1

2

)n]-n•(

1

2

)n=4-(2n+4)(

1

2

)n．
易知T_n＜4，
又∵Tn+1-Tn=4-(2n+6)(

1

2

)n+1-4+(2n+4)(

1

2

)n=(

1

2

)n(n+1)＞0．
∴T_n≥T₁=1，故存在正整數(shù)m=1滿足題目要求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．