Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，且滿足AB∥CD，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB，PA⊥平面ABCD．
（1）求證：平面PBD⊥平面PAD；
（2）若PA=AB，求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面PBD⊥平面PAD；
（2）根據(jù)二面角的定義先作出二面角的平面角，進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）取AB的中點E，連接CE，
則由題意知，△BCE為正三角形，
∴∠ABC=60°，
由等腰梯形知∠BCD=120°，
設(shè)AD=DC=BC=2，
則AB=4，由余弦定理得BD²=CD²+BC²-2CD•BCcos120°=4+4-2×2×2×$（-\frac{1}{2}）$=4+4+4=12，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
故AD²+BD²=AB²，
即得∠ADB=90°，
則AD⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∴BD⊥平面PAD，BC?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAD；
（2）在平面ABCD中，過C作CH∥BD，交AD的延長線于H，
由（1）知，BD⊥平面PAD，
∴CH⊥平面PAD，則CH⊥PD，
在平面PAD中，過點H作HG⊥PD，交PD的延長線于G，
連接CG，則PG⊥平面HGC，
∴PG⊥GC，
則∠HGC為二面角A-PD-C的平面角，
在直角三角形CHD中，CD=2，∠CDH=60°，
∴CH=$\sqrt{3}$，
∵Rt△PAD∽Rt△HGD，
∴GH=$\frac{PA•DG}{PD}=\frac{4×1}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
在Rt△GHC，GC=$\sqrt{H{G}^{2}+H{C}^{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}+3}$=$\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{5}}$，
則cos∠GHC=$\frac{GH}{GC}$=$\frac{2\sqrt{19}}{19}$，
則二面角A-PD-C的余弦值為-$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．

點評 本題主要考查空間面面垂直的判定以及空間二面角的求解，利用定義法是解決空間二面角的常用方法．本題也可以使用向量法進(jìn)行求解．