Question

18．已知兩點(diǎn)F₁（-1，0）及F₂（1，0），點(diǎn)P在以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓C上，且|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程
（Ⅱ）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線l上的兩點(diǎn)，且F₁M⊥l，F(xiàn)₂N⊥l，求四邊形F₁MNF₂面積S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的定義可得a=2，又c=1，再由a，b，c的關(guān)系，解得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，運(yùn)用判別式為0，討論k≠0，k=0，運(yùn)用直角梯形面積公式，結(jié)合基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓定義可得2a=|PF₁|+|PF₂|=4．即a=2，
又c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（Ⅱ）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x²+4y²=12中，
得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．                
由直線l與橢圓C僅有一個公共點(diǎn)知，△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，
化簡得：m²=4k²+3．                          
設(shè)d₁=|F₁M|=$\frac{|m-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，d₂=|F₂N|=$\frac{|m+k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
當(dāng)k≠0時，設(shè)直線l的傾斜角為θ，
則|d₁-d₂|=|MN|•|tanθ|
∴|MN|=|$\frac{njtr5nl_{1}-bv9tvrf_{2}}{k}$|，S=$\frac{1}{2}$|$\frac{pvntb1b_{1}-zjhrrf7_{2}}{k}$|（d₁+d₂）=|$\frac{{j9pnxpb_{1}}^{2}-{7nvfrl7_{2}}^{2}}{2k}$|=$\frac{2|m|}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2|m|}{\frac{{m}^{2}-3}{4}+1}$=$\frac{8}{|m|+\frac{1}{|m|}}$，
∵m²=4k²+3，∴當(dāng)k≠0時，|m|＞$\sqrt{3}$，|m|+$\frac{1}{|m|}$＞$\sqrt{3}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$，S＜2$\sqrt{3}$．
當(dāng)k=0時，四邊形F₁MNF₂是矩形，S=2$\sqrt{3}$．   
所以四邊形F₁MNF₂面積S的最大值為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．