Question

19．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=2，b₁=1，2a_n+1=a_n，b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n}$b_n=b_n+1-1（n∈N^*）．
（1）求a_n與b_n；
（2）記數(shù)列{a_nb_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用公式直接計算可知數(shù)列{a_n}的通項公式，通過作差可知$\frac{_{n+1}}{n+1}$=$\frac{_{n}}{n}$，進而可得b_n=n；
（2）通過（1）可知a_nb_n=n•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，進而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）a₁=2，2a_n+1=a_n得${a_n}=2•\frac{1}{{{2^{n-1}}}}=\frac{1}{{{2^{n-2}}}}$…（2分）
由題意知：
當(dāng)n=1時，b₁=b₂-1，故b₂=2，
當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{n}{b_n}={b_{n+1}}-{b_n}$，即$\frac{_{n+1}}{n+1}$=$\frac{_{n}}{n}$，
由b₁=1可知，b_n=n；…（6分）
（2）由（1）知，a_nb_n=n•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，…（7分）
∴T_n=$\frac{1}{{2}^{-1}}$+2•$\frac{1}{{2}^{0}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-2}}$，$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^0}+\frac{2}{2^1}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{-1}}$+$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{1}{{2}^{1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，…（9分）
=$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，…（10分）
故T_n=8-$\frac{n+2}{{2}^{n-2}}$．…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．