Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x-1）+$\frac{2a}{x}$（a∈R）
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x＞1，且x≠2時(shí)，xln（x-1）＞a（x-2）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判斷二次函數(shù)y=x²-2ax+2a的正負(fù)問題，再對(duì)a分類討論即可．
（Ⅱ）當(dāng)x＞1，且x≠2時(shí)，xln（x-1）＞a（x-2）恒成立問題，轉(zhuǎn)化為當(dāng)x＞1，且x≠2時(shí)$\frac{1}{x-2}$[f（x）-a]＞0恒成立問題，只要利用（Ⅰ）的結(jié)論對(duì)a及x進(jìn)行分類討論f（x）-a及x-2的符號(hào)即可．

解答 解：（1）由題意可知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2ax+2a}{{x}^{2}（x-1）}$，
設(shè)g（x）=x²-2ax+2a，△=4a²-8a=4a（a-2），
①當(dāng)△≤0，即0≤a≤2，g（x）≥0，
∴f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）的對(duì)稱軸為x=a，
當(dāng)x＞1時(shí)，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知g（x）＞g（1）＞0，
∴f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)a＞2時(shí)，設(shè)x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-2ax+2a=0的兩個(gè)根，
則x₁=a-$\sqrt{{a}^{2}-2a}$＞1，x₂=a+$\sqrt{{a}^{2}-2a}$，
當(dāng)1＜x＜x₁或x＞x₂時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（1，x₁），（x₂，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（x₁，x₂）上是減函數(shù)，
綜上可知：當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，x₁），（x₂，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（x₁，x₂）．
（2）xln（x-1）＞a（x-2）可化為：$\frac{ln（x-1）}{x-2}$＞$\frac{a}{x}$，
即：$\frac{1}{x-2}$[ln（x-1）+$\frac{2a}{x}$-a]＞0，
即$\frac{1}{x-2}$[f（x）-a]＞0，（*）
令h（x）=f（x）-a，由（1）知：
①當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以h（x）在（1，+∞）是增函數(shù)，
因?yàn)楫?dāng)1＜x＜2時(shí)，h（x）＜h（2）=0，∴（*）式成立，
當(dāng)x＞2時(shí)，h（x）＞h（2）=0，∴（*）成立，
所以當(dāng)a≤2時(shí)，（*）成立；
②當(dāng)a＞2時(shí)，因?yàn)閒（x）在（x₁，2）上是減函數(shù)，
所以h（x）在（x₁，2）上是減函數(shù)，
所以當(dāng)x₁＜x＜2時(shí)，h（x）＞h（2）=0，（*）不成立，
綜上可知，a的取值范圍為（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，關(guān)鍵是通過分類討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及會(huì)轉(zhuǎn)化利用已證的結(jié)論解決問題．