Question

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，上頂點(diǎn)A，離心率為$\frac{1}{2}$，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，若S${\;}_{△P{F}_{1}A}$=4S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$，則直線(xiàn)PF₁的斜率為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{9}$

Answer 1

分析 通過(guò)橢圓離心率可知$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，進(jìn)而可知設(shè)P（m，$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}$）、直線(xiàn)PF₁與y軸交于點(diǎn)Q，利用兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線(xiàn)PF₁的方程并令x=0可知點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用三角形面積公式及其關(guān)系即得結(jié)論．

解答 解：∵橢圓離心率為$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，即$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴F₁（-$\frac{1}{2}$a，0），F(xiàn)₂（$\frac{1}{2}$a，0），A（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
設(shè)P（m，$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}$），記直線(xiàn)PF₁與y軸交于點(diǎn)Q，
∵直線(xiàn)PF₁的方程為：$\frac{y}{x+\frac{1}{2}a}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}•\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$，
令x=0，可知y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\frac{a\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$，
∴AQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\frac{a\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a（2-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$），
∵S${\;}_{△P{F}_{1}A}$=4S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$a（2-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$）（$\frac{1}{2}$a+m）=4a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}$，
整理得：$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$=$\frac{2}{9}$，
∴直線(xiàn)PF₁的斜率為$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}•\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2}{9}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，對(duì)面積的分割是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．