Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形，PA=PD，AD=

2

AB=2，且平面PAD⊥平面.4BCD．
（Ⅰ）求證：PC⊥BD；
（Ⅱ）若四棱錐P-ABCD的體積為

4 2

3

，求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間角

分析：（Ⅰ）取O為AD的中點(diǎn)，連接CO，PO，由已知條件推導(dǎo)出Rt△CDO∽R(shí)t△DAB，從而得到BD⊥OC，由此能夠證明PC⊥BD．
（Ⅱ）由等體積法墳出PO=2，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-PC-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取O為AD的中點(diǎn)，連接CO，PO，如下圖．
則在矩形ABCD中，∵

CD

AD

=

DO

AB

=

2

2

，∴Rt△CDO∽R(shí)t△DAB，
∴∠OCD=∠BDA，∴∠OCD+∠CDB=90°，
∴BD⊥OC，…（3分）
∵PA=PD，O為AD中點(diǎn)，∴PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD．
∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD．
又OC?平面POC，PO?平面POC，∴BD⊥平面POC，
又PC?平面POC，∴PC⊥BD．…（6分）
（Ⅱ）解：由VP-ABCD=

1

3

S矩形ABCD•PO=

1

3

×2×

2

•PO=

4 2

3

，解得PO=2，…（7分）
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有
A(1，0，0)，P(0，0，2)，C(-1，

2

，0)，D(-1，0，0)，
∴

AP

=(-1，0，2)，

AC

=(-2，

2

，0)，

DP

=(1，0，2)，

DC

=(0，

2

，0)．…（8分）
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為

n1

n₁=（x₁，y₁，z₁），
則有

n1 • AP =0 n1 • AC =0

，即

-x1+2z1=0 -2x1+ 2 y1=0

，令z₁=1，得

n1

=(2，2

2

，1)，
同理，設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），
則有

n2 • DP =0 n2 • DC =0

，即

x2+2z2=0 2 y2=0

，令x₂=2，得

n2

=（2，0，-1），
cos?n1，n2＞=

n1•n2

|n1|•|n2|

=

4-1

13 × 5

=

3 65

65

，…（10分）
由圖可知二面角A-PC-D為銳二面角，
故二面角A-PC-D的余弦值為

3 65

65

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．