Question

12．已知p：lg（x-a）＞0，q：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3＜0}\\{{x}^{2}-6x+8＜0}\end{array}\right.$，r：2x²-9x+b＜0，
（1）若p是q的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）若￢r是￢q的充分條件，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 由q：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3＜0}\\{{x}^{2}-6x+8＜0}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，設(shè)B={x|2＜x＜3}．
（1）由p：lg（x-a）＞0，得x＞a+1 設(shè)A={x|x＞a+1}，根據(jù)q是p的充分條件，可得B⊆A，即可得出．
（2）設(shè)C={x|2x²-9x+b＜0}，由￢r是￢q的充分條件，可得q⇒r，即B⊆C，令f（x）=2x²-9x+b，要使2＜x＜3滿足不等式2x²-9x+b＜0，只需$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：由q：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3＜0}\\{{x}^{2}-6x+8＜0}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，∴q：2＜x＜3．設(shè)B={x|2＜x＜3}，
（1）由p：lg（x-a）＞0，得x＞a+1  設(shè)A={x|x＞a+1}，
∵q是p的充分條件，∴B⊆A，∴a+1≤2，解得a≤1．
故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤1}．
（2）設(shè)C={x|2x²-9x+b＜0}，
∵￢r是￢q的充分條件，∴q⇒r，∴B⊆C，
∴2＜x＜3滿足不等式2x²-9x+b＜0，
令f（x）=2x²-9x+b，
要使2＜x＜3滿足不等式2x²-9x+b＜0，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（2）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{8-18+b≤0}\\{18-27+b≤0}\end{array}\right.$，∴b≤9，
故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是{b|b≤9}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法與性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、集合之間的關(guān)系、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．