【題目】已知在正整數(shù)n的各位數(shù)字中,共含有個1,個2,,個n.證明:并確定使等號成立的條件.

【答案】見解析

【解析】

對正整數(shù)n的位數(shù)使用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)是一位數(shù),即時,所證式顯然成立,

這是因為,此時的十進(jìn)制表達(dá)式中只有一位數(shù)字,

,其余,所以,左邊==右邊.

假設(shè)當(dāng)正整數(shù)不超過k位,即時,結(jié)論皆成立.

現(xiàn)考慮位數(shù),即時的情形.

設(shè)的首位數(shù)字為r.則. ①

,則在數(shù)的各位數(shù)字中,,其余.

顯然,.

,記的各位數(shù)字中含有個1,個2,,個r,…,個9.

的各位數(shù)字中,含有個r、個j.

注意到,正整數(shù)不超過k位.

由歸納法假設(shè),對

則當(dāng)位數(shù)時,結(jié)論也成立.

故由數(shù)學(xué)歸納法,知對一切正整數(shù),結(jié)論皆成立.

欲使等號成立,由證明過程,知要么為一位數(shù);要么在的位數(shù)大于或等于2時,由式②,必須,此時,由式①得,

可表示為的形式.

上述條件也是充分的,當(dāng)能夠表成以上形式時,有,其余.

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