【題目】學(xué)習(xí)了余弦定理后,老師布置了一個(gè)課外任務(wù),讓同學(xué)們自己制作一些直角三角形、銳角三角形或鈍角三角形的模型,現(xiàn)在李明和王強(qiáng)同學(xué)已經(jīng)有了兩根長(zhǎng)度分別為和的鐵絲.
(1)如果他們希望能夠制作一個(gè)直角三角形,那么他們需要的第三根鐵絲的長(zhǎng)度應(yīng)該是多少?
(2)如果他們希望能夠制作一個(gè)鈍角三角形,那么他們需要的第三根鐵絲的長(zhǎng)度應(yīng)該在什么范圍?制作一個(gè)銳角三角形呢?
【答案】(1)或;(2)見(jiàn)解析.
【解析】
(1)分兩種情況討論,斜邊為長(zhǎng)度為的鐵絲或第三根鐵絲,利用勾股定理即可求出結(jié)果;
(2)若三角形為鈍角三角形,分兩種情況討論,最長(zhǎng)邊為長(zhǎng)度為的鐵絲或第三根鐵絲,利用最大角的余弦值為負(fù)數(shù),結(jié)合余弦定理以及三角形三邊關(guān)系可求得結(jié)果,同理可得出當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)第三邊長(zhǎng)度的取值范圍.
(1)制作一個(gè)直角三角形,設(shè)第三根鐵絲的長(zhǎng)度為.
①若長(zhǎng)度為的鐵絲為斜邊,則;
②第三根鐵絲為斜邊,則.
綜上所述,所求第三邊的長(zhǎng)度為或;
(2)制作一個(gè)鈍角三角形,設(shè)第三根鐵絲的長(zhǎng)度為,設(shè)鈍角三角形的最大角為.
①若最長(zhǎng)邊為的鐵絲,則,解得,
又,,即;
②若最長(zhǎng)邊為的鐵絲,則,解得,
由,此時(shí).
綜上所述,當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí),第三邊的取值范圍是.
同理可知,制作一個(gè)銳角三角形時(shí),第三邊的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)盒子中,放有標(biāo)號(hào)分別為1,2,3的三張卡片,現(xiàn)從這個(gè)盒子中,有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x、y,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)為記.
(1)求隨機(jī)變量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
(2)求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2015年推出一種新型家用轎車(chē),購(gòu)買(mǎi)時(shí)費(fèi)用為16.9萬(wàn)元,每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)共1.2萬(wàn)元,汽車(chē)的維修費(fèi)為:第一年無(wú)維修費(fèi)用,第二年為0.2萬(wàn)元,從第三年起,每年的維修費(fèi)均比上一年增加0.2萬(wàn)元.
(I)設(shè)該輛轎車(chē)使用n年的總費(fèi)用(包括購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用、保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)及維修費(fèi))為f(n),求f(n)的表達(dá)式;
(II)這種汽車(chē)使用多少報(bào)廢最合算(即該車(chē)使用多少年,年平均費(fèi)用最少)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足,數(shù)列中,,對(duì)任意正整數(shù),.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得數(shù)列是等比數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)及公比q的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)求數(shù)列前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)P是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作軸于Q,線段PQ的中點(diǎn)為M.直線AM與直線交于點(diǎn)N,D為線段BN的中點(diǎn),設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷以OD為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】求1,2,···,n的排列的個(gè)數(shù),使得對(duì)正整數(shù)k=1,2,···,n成立。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐,底面,底面為等腰梯形,,,,,點(diǎn)E為邊上的點(diǎn),.
(1)求證:平面;
(2)若,求點(diǎn)E到平面的距離 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知圓O:和點(diǎn),由圓O外一點(diǎn)P向圓O引切線,Q為切點(diǎn),且有 .
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程,并說(shuō)明點(diǎn)P的軌跡是什么樣的幾何圖形?
(2)求的最小值;
(3)以P為圓心作圓,使它與圓O有公共點(diǎn),試在其中求出半徑最小的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在正整數(shù)n的各位數(shù)字中,共含有個(gè)1,個(gè)2,,個(gè)n.證明:并確定使等號(hào)成立的條件.
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