Question

4．已知x∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，求函數(shù)f（x）=3cos²x+5sinx-4的值域．

Answer 1

分析 由題意可得t=sinx∈[-1，$\frac{1}{2}$]，換元可得y=-3t²+5t-1，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：∵x∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，∴t=sinx∈[-1，$\frac{1}{2}$]，
對(duì)已知函數(shù)f（x）=3cos²x+5sinx-4換元可得：
y=3（1-t²）+5t-4=-3t²+5t-1，
由二次函數(shù)可知函數(shù)y在t∈[-1，$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=-1時(shí)，函數(shù)取最小值-9，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)取最大值$\frac{3}{4}$，
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇-9，$\frac{3}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間的最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．