Question

2．已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和為S_n，且滿足a₁=23，a₂=-9，a_n+2=a_n+6×（-1）ⁿ⁺¹-2．n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求當(dāng)S_n最大時(shí)n的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：當(dāng)n=2k-1時(shí)，a_2k+1-a_2k-1=4，數(shù)列{a_n}中的奇項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為23，公等于4的等差數(shù)列；當(dāng)n=2k時(shí)，a_2k+2-a_2k=-8，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為-9，公差等于-8的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知：a_2k-1+a_2k=-4k+18，因此數(shù)列{a_2k-1+a_2k}是以14為首項(xiàng)，以-4為公差的等差數(shù)列，S_2k=$\frac{[14+（-4k+18）]k}{2}$=-2k²+16k=-2（k-4）²+32，
當(dāng)k=4時(shí)，S₈取得最大值32，即S₈取得最大值32，S_2k-1=S_2k-a_2k=-2k²+24k+1=-2（k-6）²+73，則k=6時(shí)，S₁₁取得最大值73，因此當(dāng)S_n最大時(shí)，n的值為11．

解答 解：（1）由a_n+2=a_n+6×（-1）ⁿ⁺¹-2．n∈N^*，
當(dāng)n=2k-1時(shí)，a_2k+1-a_2k-1=4，
當(dāng)n=2k時(shí)，a_2k+2-a_2k=-8…（2分）
數(shù)列{a_n}中的奇項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為23，公等于4的等差數(shù)列；
偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為-9，公差等于-8的等差數(shù)列．
a_2k-1=23+（k-1）×4=4k+19，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)a_n=2n+21…（4分）
a_2k=-9+（k-1）×（-8）=-8k-1，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n=-4n-1，…（6分）
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n+2}&{n≥1，n為奇數(shù)}\\{-4n-1}&{n≥2，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；…（8分）
（2）由（1）知：a_2k-1+a_2k=-4k+18，
當(dāng)k=1時(shí)，a₁+a₂=14，
∴{a_2k-1+a_2k}是以14為首項(xiàng)，以-4為公差的等差數(shù)列，
S_2k=$\frac{[14+（-4k+18）]k}{2}$=-2k²+16k=-2（k-4）²+32，
當(dāng)k=4時(shí)，S₈取得最大值32．…（12分）
S_2k-1=S_2k-a_2k=-2k²+24k+1=-2（k-6）²+73，
當(dāng)k=6時(shí)，S₁₁取得最大值73，…（14分）
∴當(dāng)S_n最大時(shí)，n的值為11．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，一元二次函數(shù)的最值，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．