Question

已知函數(shù)f（x）=-2cosx，x∈[0，π]在點P處的切線與函數(shù)g（x）=

1

2

x²+lnx在點Q處的切線平行，則直線PQ的斜率為（　　）

• A、

  1

  π

• B、

  1

  2-π

• C、2
• D、π-2

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)出P和Q點的坐標(biāo)，分別求出兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用余弦函數(shù)的值域及不等式求最值得到兩個導(dǎo)函數(shù)的取值范圍，再由f（x）=-2cosx，x∈[0，π]在點P處的切線與函數(shù)g（x）=

1

2

x²+lnx在點Q處的切線平行得到P，Q點的橫坐標(biāo)，代入原函數(shù)求得P，Q的縱坐標(biāo)，由兩點求斜率得答案．

解答： 解：設(shè)P（a，b），Q（m，n），
由f（x）=-2cosx，得f′（x）=2sinx，
∵x∈[0，π]，
∴0≤f′（x）≤2．
由g（x）=

1

2

x²+lnx，得g′(x)=x+

1

x

．
∵x＞0，
∴g′（x）≥2．
∵f（x）=-2cosx，x∈[0，π]在點P處的切線與函數(shù)g（x）=

1

2

x²+lnx在點Q處的切線平行，
∴2sina=m+

1

m

=2．
∵a∈[0，π]，m＞0，
∴a=

π

2

，m=1，
∴b=-2cos

π

2

=0，n=

1

2

．
∴直線PQ的斜率為：

1 2 -0

1- π 2

=

1

2-π

．
故選：B．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用基本不等式求函數(shù)最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．