Question

2．已知函數(shù)f（x）=|lgx|，若$f（a）=f（b）=2f（\frac{a+b}{2}）（0＜a＜b）$，則b所在區(qū)間為（　�。�

• A． （0，1）
• B． （1，2）
• C． （2，3）
• D． （3，4）

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=|lgx|的圖象，①設(shè)$\frac{a+b}{2}≥1$，由$f（a）=f（b）=2f（\frac{a+b}{2}）（0＜a＜b）$，則-lga=lgb=2$lg\frac{a+b}{2}$，可得b=$（\frac{\frac{1}+b}{2}）^{2}$，化為：f（b）=b⁴-4b³+2b²+1=0，（b＞1）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出；②設(shè)0＜$\frac{a+b}{2}$＜1，同理可得．

解答 解：畫出函數(shù)f（x）=|lgx|的圖象，
①設(shè)$\frac{a+b}{2}≥1$，∵$f（a）=f（b）=2f（\frac{a+b}{2}）（0＜a＜b）$，
則-lga=lgb=2$lg\frac{a+b}{2}$，
ab=1，可得a=$\frac{1}$，
則b=$（\frac{\frac{1}+b}{2}）^{2}$，
化為：f（b）=b⁴-4b³+2b²+1=0，（b＞1）．
f′（b）=4b（b²-3b+1）=4b$（b-\frac{3+\sqrt{5}}{2}）$$（b-\frac{3-\sqrt{5}}{2}）$，
可知：當(dāng)b∈（1，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）時(shí)，f′（b）＜0，f（b）的單調(diào)遞減；當(dāng)b$＞\frac{3+\sqrt{5}}{2}$時(shí)，f′（b）＞0，f（b）的單調(diào)遞增．
由f（1）=0，可知：$f（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）$＜0，而f（3）=-8＜0，f（4）=33＞0，
∴此時(shí)存在唯一零點(diǎn)b∈（3，4）．
②設(shè)0＜$\frac{a+b}{2}$＜1，∵$f（a）=f（b）=2f（\frac{a+b}{2}）（0＜a＜b）$，
則-lga=lgb=-2$lg\frac{a+b}{2}$，
∴ab=1，$\frac{1}$=$（\frac{a+b}{2}）^{2}$，
化為：f（b）=b⁴+2b²-4b+1=0，（2＞b＞1）．
f′（b）=2（2b³+b-2）＞0，
可知：當(dāng)b∈（1，2）時(shí)，函數(shù)f（b）的單調(diào)遞增．
由f（1）=0，f（b）＞0，此時(shí)函數(shù)f（b）不存在零點(diǎn)．
綜上可得：b所在區(qū)間為（3，4）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．