Question

11．已知函數(shù)$f（x）=2sinxsin（x+\frac{π}{6}）$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可．
（2）利用自變量的范圍，求解相位的范圍，通過正弦函數(shù)的有界性求解即可．

解答 解：（1）$f（x）=2sinx（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）=\sqrt{3}\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x$ …（2分）
=$sin（2x-\frac{π}{3}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（4分）
因為$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，解得$$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5}{12}π+kπ$，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5}{12}π+kπ]，k∈{Z}$．…（6分）
（2）$x∈[0，\frac{π}{2}]，2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}，\frac{2}{3}π]，sin（2x-\frac{π}{3}）∈[-\frac{\sqrt{3}}{2}，1]，…（$10分）
因此f（x）的最大值為1，最小值為$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及的最值的求法，考查計算能力．