Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AC=2BC，D是AA₁的中點，CD⊥B₁D．
（1）證明：CD⊥B₁C₁；
（2）平面CDB₁分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）直三棱柱的側(cè)面為矩形，在矩形ACC₁A₁中，由勾股定理的逆定理證得CD⊥DC₁，再由條件CD⊥B₁D，即可證得CD⊥平面B₁C₁D，從而結(jié)論成立；
（2）設(shè)V₁是平面CDB₁上方部分的體積，V₂是平面CDB₁下方部分的體積，可證B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，由棱錐的體積公式，即可得到V₁=V_B1-CDA1C1=

1

2

B₁C₁³，計算三棱柱的體積為V=B₁C₁³，則V₁=V₂．

解答： （1）證明：由題設(shè)知，直三棱柱的側(cè)面為矩形，
由D為AA₁的中點，則DC=DC₁，
又AA₁=2AC，可得DC₁²+DC²=CC₁²，
則CD⊥DC₁，
而CD⊥B₁D，B₁D∩DC₁=D，
則CD⊥平面B₁C₁D，
由于B₁C₁?平面B₁C₁D，
故CD⊥B₁C₁；
（2）解：由（1）知，CD⊥B₁C₁，
且B₁C₁⊥C₁C，則B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，
設(shè)V₁是平面CDB₁上方部分的體積，
V₂是平面CDB₁下方部分的體積，
則V₁=V_B1-CDA1C1=

1

3

S_CDA1C1•B₁C₁=

1

3

×

3

2

•B₁C₁³=

1

2

B₁C₁³，
V=V_ABC-A1B1C1=

1

2

AC•BC•CC₁=B₁C₁³，
則V₂=V-V₁=

1

2

B₁C₁³=V₁，
故這兩部分體積的比為1：1．

點評：本題考查空間直線與平面垂直的判定和性質(zhì)定理及運用，考查空間幾何體的體積，記熟柱體和錐體的體積公式，考查運算能力，屬于中檔題．