Question

【題目】已知拋物線過點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)、，過作軸的垂線分別與直線、交于點(diǎn)、，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（3）求證：為線段的中點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；（3）證明見解析.

【解析】

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果可寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（3）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，并列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后結(jié)合韋達(dá)定理證明出點(diǎn)、的縱坐標(biāo)之和為點(diǎn)縱坐標(biāo)的兩倍，即可證明出點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，解得，

因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由（1）知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；

（3）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，

由韋達(dá)定理得，.

直線的方程為，聯(lián)立，得點(diǎn)，

直線的方程為，聯(lián)立，得點(diǎn)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，則，

因此，為線段的中點(diǎn).